結城浩の数学 - kaitohの日記

http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070613102030
偶然見つけたので久しぶりに頭の体操。

まず、数列の極限を求める方で考える。
数列
$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{\infty}$
の $a_{\infty}$ を求めればよい。

$a_{1}=2^{\frac{1}{2}}$ , $a_{2}=((2^{\frac{1}{2}})*2)^{\frac{1}{2}}=2^{ \frac{\frac{1}{2}+1}{2} }=2^{\frac{3}{4}}$
$a_{3}=((2^{\frac{3}{4}})*2)^{\frac{1}{2}}=2^{ \frac{\frac{3}{4}+1}{2} }=2^{\frac{7}{8}}$ ...
となる。

ここで $a_{n}=2^{b_{n}}$ とおくと以下の漸化式が導ける。
$b_{n}=\frac{ b_{n-1}+1 }{2}$

$n\to\infty$ を考えると、 $b_{n}$ も $b_{n-1}$ も $b_{\infty}$ となり、
漸化式から
$b_{\infty}=\frac{ b_{\infty}+1 }{2}$
が言える。

よって
$b_{\infty}=1$
$a_{\infty} = 2^{b_{\infty}} = 2$

次に、無限の意味を考えれば一瞬で解けるという方法。

$a_{\infty}$ を2乗する。
すると
$(a_{\infty})^{2}=2a_{\infty}$
よって、 $a_{\infty}=2$

なんかどっちの解法も教科書的。もっと面白い解き方する人もいるのかなー？

パソコンで文字とか数式とか書くときの書きづらさが、ものすっごく気になった。数学の問題の解答をパソコンで書くとかもう二度としたくないと思わせるくらいに。スキャナ欲しいなー。